MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs cu costul marginal dat de funcția Cm(q)=3q2−12q+15C_m(q) = 3q^2 - 12q + 15, unde qq este cantitatea produsă. Prețul de vânzare este p(q)=100−2qp(q) = 100 - 2q. Determinați cantitatea qq care maximizează profitul firmei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Definiți funcția profitului P(q)=R(q)−C(q)P(q) = R(q) - C(q), unde R(q)=p(q)⋅q=100q−2q2R(q) = p(q) \cdot q = 100q - 2q^2 și C(q)C(q) este primitiva costului marginal, considerând cost fix nul, adică C(q)=q3−6q2+15qC(q) = q^3 - 6q^2 + 15q.
22 puncte
Calculați derivata funcției profitului: P′(q)=R′(q)−C′(q)=(100−4q)−(3q2−12q+15)=−3q2+8q+85P'(q) = R'(q) - C'(q) = (100 - 4q) - (3q^2 - 12q + 15) = -3q^2 + 8q + 85.
32 puncte
Rezolvați ecuația P′(q)=0P'(q) = 0, adică −3q2+8q+85=0-3q^2 + 8q + 85 = 0. Obțineți 3q2−8q−85=03q^2 - 8q - 85 = 0, cu discriminant Δ=1084\Delta = 1084, deci q=8±10846q = \frac{8 \pm \sqrt{1084}}{6}. Doar soluția pozitivă are sens: q≈6.82q \approx 6.82.
42 puncte
Verificați că acesta este maxim calculând derivata a doua: P′′(q)=−6q+8P''(q) = -6q + 8. Pentru q≈6.82q \approx 6.82, P′′(6.82)<0P''(6.82) < 0, confirmând maxim.
52 puncte
Calculați profitul maxim: P(6.82)=(100⋅6.82−2⋅6.822)−(6.823−6⋅6.822+15⋅6.82)P(6.82) = (100 \cdot 6.82 - 2 \cdot 6.82^2) - (6.82^3 - 6 \cdot 6.82^2 + 15 \cdot 6.82). Efectuați calculele pentru a obține profitul maxim aproximativ, de exemplu P(6.82)≈463.24P(6.82) \approx 463.24.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.