MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelor
Costul total de producție al unei companii este dat de funcția C(x)=0.1x2+20x+500C(x) = 0.1x^2 + 20x + 500, unde xx reprezintă numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe piață este p(x)=100−0.5xp(x) = 100 - 0.5x lei per unitate. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim obținut.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea funcției profit: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(100−0.5x)−(0.1x2+20x+500)=−0.6x2+80x−500P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(100 - 0.5x) - (0.1x^2 + 20x + 500) = -0.6x^2 + 80x - 500.\n
23 puncte
Găsirea derivatei: P′(x)=−1.2x+80P'(x) = -1.2x + 80 și egalarea cu zero: −1.2x+80=0-1.2x + 80 = 0.\n
33 puncte
Rezolvarea ecuației: x=801.2=2003≈66.67x = \frac{80}{1.2} = \frac{200}{3} \approx 66.67 unități.\n
42 puncte
Verificarea că este maxim: P′′(x)=−1.2<0P''(x) = -1.2 < 0, deci este punct de maxim. Calculul profitului maxim: P(2003)=−0.6(2003)2+80⋅2003−500=65003≈2166.67P\left(\frac{200}{3}\right) = -0.6 \left(\frac{200}{3}\right)^2 + 80 \cdot \frac{200}{3} - 500 = \frac{6500}{3} \approx 2166.67 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.