MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Găsiți punctele de intersecție ale curbelor rezolvând ecuația x2−4x+3=−x2+6x−5x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 6x - 5. Se obține 2x2−10x+8=02x^2 - 10x + 8 = 0 sau x2−5x+4=0x^2 - 5x + 4 = 0, cu soluțiile x=1x=1 și x=4x=4.
22 puncte
Determinați care curbă este deasupra pe intervalul [1,4][1,4]. Pentru x=2x=2, y1=22−4⋅2+3=−1y_1 = 2^2 - 4\cdot2 + 3 = -1 și y2=−22+6⋅2−5=3y_2 = -2^2 + 6\cdot2 - 5 = 3, deci y2>y1y_2 > y_1. Aria se calculează cu integrala ∫14[(−x2+6x−5)−(x2−4x+3)]dx=∫14(−2x2+10x−8)dx\int_{1}^{4} [(-x^2+6x-5) - (x^2-4x+3)] dx = \int_{1}^{4} (-2x^2+10x-8) dx.
35 puncte
Calculați integrala: ∫(−2x2+10x−8)dx=−2x33+5x2−8x\int (-2x^2+10x-8) dx = -\frac{2x^3}{3} + 5x^2 - 8x. Evaluați de la 1 la 4: la x=4x=4, −2⋅643+5⋅16−32=−1283+80−32=−1283+48=−128+1443=163-\frac{2\cdot64}{3} + 5\cdot16 - 32 = -\frac{128}{3} + 80 - 32 = -\frac{128}{3} + 48 = \frac{-128+144}{3} = \frac{16}{3}; la x=1x=1, −23+5−8=−23−3=−113-\frac{2}{3} + 5 - 8 = -\frac{2}{3} - 3 = -\frac{11}{3}. Aria =163−(−113)=273=9= \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{27}{3} = 9 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Ușor#2Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#3Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Ușor#4Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a domeniului plan mărginit de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=xy = x.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.