MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea punctelor de intersecție între y=x2y = x^2 și y=2x+3y = 2x + 3: x2=2x+3⇒x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0, deci x=−1x = -1 și x=3x = 3. Pe domeniul dat (0≤x≤20 \leq x \leq 2, datorită axei Oy și a dreptei x=2x = 2), funcțiile nu se intersectează în interior; se compară valorile lor.
22 puncte
Identificarea funcțiilor și a limitelor: Pentru x∈[0,2]x \in [0,2], 2x+3>x22x + 3 > x^2 (verificat prin calcul, de exemplu pentru x=1x=1: 2⋅1+3=5>12=12\cdot1+3=5 > 1^2=1). Aria este dată de integrala diferenței funcțiilor: ∫02[(2x+3)−x2] dx\int_{0}^{2} [(2x+3) - x^2] \, dx.
32 puncte
Setarea integralei: A=∫02(2x+3−x2) dxA = \int_{0}^{2} (2x+3 - x^2) \, dx.
42 puncte
Calculul integralei: A=[x2+3x−x33]02=(22+3⋅2−233)−0=(4+6−83)=10−83=30−83=223A = \left[ x^2 + 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( 2^2 + 3\cdot2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = \left( 4 + 6 - \frac{8}{3} \right) = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}.
52 puncte
Evaluarea ariei totale: A=223A = \frac{22}{3} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Ușor#4Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a domeniului plan mărginit de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=xy = x.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.