MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un nou produs. Costul de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+200C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 200 (mii de lei), iar prețul de vânzare este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (mii de lei pe unitate). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei, calculați profitul maxim și interpretați rezultatele în context economic.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea funcției profit: P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(50−0.5x)−(0.1x3−2x2+15x+200)=−0.1x3+1.5x2+35x−200P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(50 - 0.5x) - (0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 200) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 35x - 200.
23 puncte
Derivarea funcției profit: P′(x)=−0.3x2+3x+35P'(x) = -0.3x^2 + 3x + 35. Găsirea punctelor critice: P′(x)=0⇒−0.3x2+3x+35=0⇒3x2−30x−350=0⇒x=30±900+42006=30±51006P'(x) = 0 \Rightarrow -0.3x^2 + 3x + 35 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 30x - 350 = 0 \Rightarrow x = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 4200}}{6} = \frac{30 \pm \sqrt{5100}}{6}. Se obțin x1≈−6.67x_1 \approx -6.67 (nu are sens economic) și x2≈17.5x_2 \approx 17.5.
32 puncte
Verificarea maximului: P′′(x)=−0.6x+3P''(x) = -0.6x + 3. Pentru x=17.5x = 17.5, P′′(17.5)=−0.6⋅17.5+3=−10.5+3=−7.5<0P''(17.5) = -0.6 \cdot 17.5 + 3 = -10.5 + 3 = -7.5 < 0, deci este maxim.
42 puncte
Calculul profitului maxim: P(17.5)=−0.1(17.5)3+1.5(17.5)2+35(17.5)−200≈−535.94+459.38+612.5−200=335.94P(17.5) = -0.1(17.5)^3 + 1.5(17.5)^2 + 35(17.5) - 200 \approx -535.94 + 459.38 + 612.5 - 200 = 335.94 mii lei. Interpretare: Producția optimă este de aproximativ 17-18 unități, profitul maxim fiind de circa 336.000 lei.
51 punct
Observații: Verificarea domeniului de definiție x≥0x \geq 0 și discuția despre rotunjirea valorilor în practică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.