MediuMatematică aplicatăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăProgresii GeometriceEcuații exponentiale
Populația unui oraș crește anual cu un procent constant. În anul 2020, orașul avea 200.000 de locuitori. În anul 2025, populația a ajuns la 250.000 de locuitori. Determinați: a) Rata anuală de creștere procentuală. b) Populația estimată pentru anul 2030. c) În ce an populația va depăși 300.000 de locuitori?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Modelul exponențial: P(t)=200000(1+r)tP(t) = 200000 (1+r)^t, unde tt este numărul de ani după 2020. Pentru 2025, t=5t=5, avem 250000=200000(1+r)5250000 = 200000 (1+r)^5. Rezolvăm: (1+r)5=250000200000=1.25⇒1+r=1.255(1+r)^5 = \frac{250000}{200000} = 1.25 \Rightarrow 1+r = \sqrt[5]{1.25}. Calculăm: 1+r=1.250.2≈1.045641+r = 1.25^{0.2} \approx 1.04564, deci r≈0.04564r \approx 0.04564, adică aproximativ 4.564% anual.
22 puncte
Pentru 2030, t=10t=10: P(10)=200000(1.04564)10≈200000⋅1.565≈313000P(10) = 200000 (1.04564)^{10} \approx 200000 \cdot 1.565 \approx 313000 locuitori. (Valoare exactă folosind 1+r=1.2551+r = \sqrt[5]{1.25}: P(10)=200000⋅(1.255)10=200000⋅1.252=312500P(10)=200000 \cdot (\sqrt[5]{1.25})^{10} = 200000 \cdot 1.25^2 = 312500.)
34 puncte
Căutăm tt astfel încât 200000(1+r)t>300000200000 (1+r)^t > 300000. Cu 1+r=1.251/51+r = 1.25^{1/5}, inecuația devine (1.251/5)t>1.5⇒1.25t/5>1.5(1.25^{1/5})^t > 1.5 \Rightarrow 1.25^{t/5} > 1.5. Logaritmăm: t5ln⁡(1.25)>ln⁡(1.5)⇒t>5⋅ln⁡(1.5)ln⁡(1.25)≈5⋅0.4054650.223144≈9.085\frac{t}{5} \ln(1.25) > \ln(1.5) \Rightarrow t > 5 \cdot \frac{\ln(1.5)}{\ln(1.25)} \approx 5 \cdot \frac{0.405465}{0.223144} \approx 9.085. Verificăm: pentru t=9t=9, P(9)=200000⋅1.259/5≈298400<300000P(9)=200000 \cdot 1.25^{9/5} \approx 298400 < 300000; pentru t=10t=10, P(10)=312500>300000P(10)=312500 > 300000. Deci prima depășire are loc când t=10t=10.
41 punct
Răspuns final: Rata anuală este de aproximativ 4.564%, populația în 2030 este de aproximativ 312.500 locuitori, iar populația depășește 300.000 de locuitori în anul 2030.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.