MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce cutii dreptunghiulare cu baza pătrată. Volumul cutiei este fixat la V=1 m3V = 1 \text{ m}^3. Costul materialului pentru fețele laterale este de 1010 lei/m², iar pentru baza și capac este de 1515 lei/m². Determinați dimensiunile cutiei (latura bazei xx și înălțimea hh) care minimizează costul total de producție.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Exprimarea înălțimii în funcție de latura bazei: din V=x2h=1V = x^2 h = 1 rezultă h=1x2h = \frac{1}{x^2}.
22 puncte
Scrierea funcției cost total: C(x)=30x2+40xh=30x2+40xC(x) = 30x^2 + 40x h = 30x^2 + \frac{40}{x}.
33 puncte
Calcularea derivatei: C′(x)=60x−40x2C'(x) = 60x - \frac{40}{x^2}.
42 puncte
Rezolvarea ecuației C′(x)=0C'(x) = 0: 60x=40x2⇒x3=23⇒x=23360x = \frac{40}{x^2} \Rightarrow x^3 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{2}{3}}.
51 punct
Determinarea înălțimii: h=1x2=1(233)2h = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\right)^2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.