MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O firmă produce un anumit produs. Costul total de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.6x2+13x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100 (mii de lei), iar prețul de vânzare pe unitate este p=10p = 10 mii lei. Determinați numărul de unități care trebuie produse și vândute pentru a maximiza profitul firmei. Calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scriem funcția profit: P(x)=R(x)−C(x)=10x−(0.01x3−0.6x2+13x+100)=−0.01x3+0.6x2−3x−100P(x) = R(x) - C(x) = 10x - (0.01x^3 - 0.6x^2 + 13x + 100) = -0.01x^3 + 0.6x^2 - 3x - 100.
22 puncte
Calculăm derivata funcției profit: P′(x)=−0.03x2+1.2x−3P'(x) = -0.03x^2 + 1.2x - 3.
33 puncte
Găsim punctele critice rezolvând P′(x)=0P'(x) = 0: −0.03x2+1.2x−3=0-0.03x^2 + 1.2x - 3 = 0. Împărțim cu −0.03-0.03 și obținem x2−40x+100=0x^2 - 40x + 100 = 0. Soluțiile sunt x=20±103x = 20 \pm 10\sqrt{3}.
42 puncte
Determinăm care dintre punctele critice este maxim. Calculăm derivata a doua: P′′(x)=−0.06x+1.2P''(x) = -0.06x + 1.2. Pentru x=20−103x = 20 - 10\sqrt{3}, P′′(x)>0P''(x) > 0, deci este punct de minim. Pentru x=20+103x = 20 + 10\sqrt{3}, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci este punct de maxim. Astfel, numărul de unități pentru profit maxim este x=20+103x = 20 + 10\sqrt{3}.
51 punct
Calculăm profitul maxim: P(20+103)=−0.01(20+103)3+0.6(20+103)2−3(20+103)−100P(20 + 10\sqrt{3}) = -0.01(20 + 10\sqrt{3})^3 + 0.6(20 + 10\sqrt{3})^2 - 3(20 + 10\sqrt{3}) - 100. Valoarea numerică aproximativă este 103,54103,54 mii lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.