MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorDerivate
O firmă produce cutii dreptunghiulare paralelipipedice cu baza pătrată. Materialul pentru fețele laterale costă 1010 lei/m², iar pentru capac și bază costă 1515 lei/m². Volumul cutiei trebuie să fie de 22 m³. Determinați dimensiunile cutiei (latura bazei și înălțimea) astfel încât costul total al materialului să fie minim.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm cu xx latura bazei (în metri) și cu hh înălțimea cutiei. Volumul este V=x2h=2V = x^2 h = 2.
23 puncte
Costul total CC este dat de C=15⋅(2x2)+10⋅(4xh)=30x2+40xhC = 15 \cdot (2x^2) + 10 \cdot (4xh) = 30x^2 + 40xh. Din x2h=2x^2 h = 2, exprimăm h=2x2h = \frac{2}{x^2} și substituim în cost: C(x)=30x2+40x⋅2x2=30x2+80xC(x) = 30x^2 + 40x \cdot \frac{2}{x^2} = 30x^2 + \frac{80}{x}.
33 puncte
Derivăm funcția C(x)C(x): C′(x)=60x−80x2C'(x) = 60x - \frac{80}{x^2}. Punem C′(x)=0C'(x) = 0 și rezolvăm: 60x−80x2=0⇒60x3=80⇒x3=43⇒x=43360x - \frac{80}{x^2} = 0 \Rightarrow 60x^3 = 80 \Rightarrow x^3 = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{4}{3}}.
41 punct
Verificăm că aceasta este o valoare de minim examinând semnul derivatei a doua sau folosind un tabel de variație. C′′(x)=60+160x3>0C''(x) = 60 + \frac{160}{x^3} > 0 pentru x>0x>0, deci este minim.
51 punct
Calculăm h=2x2=2(433)2=2⋅(34)2/3h = \frac{2}{x^2} = \frac{2}{(\sqrt[3]{\frac{4}{3}})^2} = 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2/3}. Dimensiunile sunt x=433x = \sqrt[3]{\frac{4}{3}} m și h=2⋅(34)2/3h = 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2/3} m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.