MediuMatematică aplicatăClasa 12

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăIntegrale definiteArii și volume
Un bazin are forma unui solid de rotație, obținut prin rotirea graficului funcției f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2} pentru x∈[−2,2]x \in [-2, 2] în jurul axei Ox. Calculați volumul bazinului. Dacă bazinul este umplut cu apă până la jumătatea înălțimii, determinați volumul de apă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Volumul solidului de rotație este dat de V=π∫−22[f(x)]2dxV = \pi \int_{-2}^{2} [f(x)]^2 dx.
22 puncte
Setăm integrala: V=π∫−22(4−x2)dxV = \pi \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx.
33 puncte
Calculăm: ∫−22(4−x2)dx=[4x−x33]−22=(8−83)−(−8+83)=8−83+8−83=16−163=48−163=323\int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}. Deci V=π⋅323=32π3V = \pi \cdot \frac{32}{3} = \frac{32\pi}{3} unități cubice.
43 puncte
Jumătatea înălțimii corespunde la y=12⋅2=1y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 (deoarece maximul lui f(x)f(x) este 2). Rezolvăm 4−x2=1\sqrt{4 - x^2} = 1, deci 4−x2=14 - x^2 = 1, x2=3x^2 = 3, x=±3x = \pm\sqrt{3}. Volumul de apă este Vapa˘=π∫−33[f(x)]2dx=π∫−33(4−x2)dx=π[4x−x33]−33=π((43−333)−(−43+333))=π(43−3+43−3)=π⋅63=6π3V_{\text{apă}} = \pi \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} [f(x)]^2 dx = \pi \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (4 - x^2) dx = \pi \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = \pi \left( (4\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3}) - (-4\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{3}) \right) = \pi (4\sqrt{3} - \sqrt{3} + 4\sqrt{3} - \sqrt{3}) = \pi \cdot 6\sqrt{3} = 6\pi\sqrt{3} unități cubice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.