MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăFuncția de gradul al II-leaAplicații ale derivatelor
O firmă de transport calculează costul total al unui traseu cu formula C(d)=15d2−120d+500C(d) = 15d^2 - 120d + 500, unde dd este distanța parcursă în sute de km, iar CC este costul în euro. Venitul obținut este V(d)=200dV(d) = 200d. Determinați: a) Funcția profitului P(d)P(d). b) Intervalul de distanțe pentru care firma are profit. c) Distanța optimă care maximizează profitul. d) Profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea funcției profitului: P(d)=V(d)−C(d)=200d−(15d2−120d+500)=−15d2+320d−500P(d) = V(d) - C(d) = 200d - (15d^2 - 120d + 500) = -15d^2 + 320d - 500.
23 puncte
Determinarea intervalului de profit: P(d)>0⇒−15d2+320d−500>0P(d) > 0 \Rightarrow -15d^2 + 320d - 500 > 0. Se rezolvă ecuația −15d2+320d−500=0-15d^2 + 320d - 500 = 0. Discriminant: Δ=102400−30000=72400\Delta = 102400 - 30000 = 72400, rădăcini: d1,2=−320±72400−30≈−320±269.1−30d_{1,2} = \frac{-320 \pm \sqrt{72400}}{-30} \approx \frac{-320 \pm 269.1}{-30}. d1≈2.03d_1 \approx 2.03, d2≈19.64d_2 \approx 19.64. Deoarece coeficientul lui d2d^2 este negativ, parabola este orientată în jos, deci P(d)>0P(d) > 0 pentru d∈(2.03;19.64)d \in (2.03; 19.64).
33 puncte
Maximizarea profitului: Se calculează derivata P′(d)=−30d+320P'(d) = -30d + 320. Se rezolvă P′(d)=0⇒−30d+320=0⇒d=32030≈10.67P'(d) = 0 \Rightarrow -30d + 320 = 0 \Rightarrow d = \frac{320}{30} \approx 10.67. Se verifică că este maxim: P′′(d)=−30<0P''(d) = -30 < 0.
42 puncte
Calcul profit maxim: P(10.67)=−15(10.67)2+320(10.67)−500≈−1707.3+3414.4−500=1207.1P(10.67) = -15(10.67)^2 + 320(10.67) - 500 \approx -1707.3 + 3414.4 - 500 = 1207.1 euro.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.