MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorArii și volume
Se consideră un triunghi dreptunghic cu catetele de 6 cm și 8 cm. În interiorul triunghiului se construiește un dreptunghi cu laturile paralele cu catetele. Să se determine dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie xx lungimea laturii dreptunghiului paralele cu cateta de 6 cm și yy lungimea laturii paralele cu cateta de 8 cm. Din asemănarea triunghiurilor, avem 6−y6=x8\frac{6-y}{6} = \frac{x}{8}, deci y=6−34xy = 6 - \frac{3}{4}x. Aria dreptunghiului este A(x)=x⋅y=x(6−34x)=6x−34x2A(x) = x \cdot y = x(6 - \frac{3}{4}x) = 6x - \frac{3}{4}x^2, cu x∈[0,8]x \in [0,8].;
24 puncte
Derivarea funcției ariei: A′(x)=6−32xA'(x) = 6 - \frac{3}{2}x. Rezolvarea ecuației A′(x)=0A'(x)=0: 6−32x=0⇒x=46 - \frac{3}{2}x = 0 \Rightarrow x = 4.;
32 puncte
Verificarea maximului: A′′(x)=−32<0A''(x) = -\frac{3}{2} < 0, deci x=4x=4 este punct de maxim.;
41 punct
Calculul dimensiunilor: Pentru x=4x=4, avem y=6−34⋅4=6−3=3y = 6 - \frac{3}{4} \cdot 4 = 6 - 3 = 3. Deci dreptunghiul are dimensiunile 4 cm și 3 cm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.