MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăFuncția de gradul al II-leaAplicații ale derivatelor
O companie produce un anumit produs. Costul de producție pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x2+20x+500C(x) = 0.1x^2 + 20x + 500, iar prețul de vânzare pe unitate este p(x)=100−0.5xp(x) = 100 - 0.5x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Funcția profit este P(x)=x⋅p(x)−C(x)=x(100−0.5x)−(0.1x2+20x+500)=100x−0.5x2−0.1x2−20x−500=−0.6x2+80x−500P(x) = x \cdot p(x) - C(x) = x(100 - 0.5x) - (0.1x^2 + 20x + 500) = 100x - 0.5x^2 - 0.1x^2 - 20x - 500 = -0.6x^2 + 80x - 500. Domeniul: x≥0x \geq 0 și p(x)≥0⇒100−0.5x≥0⇒x≤200p(x) \geq 0 \Rightarrow 100 - 0.5x \geq 0 \Rightarrow x \leq 200, deci x∈[0,200]x \in [0, 200].
23 puncte
P(x)P(x) este o funcție de gradul al II-lea cu coeficientul lui x2x^2 negativ, deci are un maxim.
33 puncte
Derivata P′(x)=−1.2x+80P'(x) = -1.2x + 80. Se rezolvă P′(x)=0⇒−1.2x+80=0⇒x=801.2=2003≈66.67P'(x) = 0 \Rightarrow -1.2x + 80 = 0 \Rightarrow x = \frac{80}{1.2} = \frac{200}{3} \approx 66.67. Se verifică semnul derivatei: P′(x)>0P'(x) > 0 pentru x<66.67x < 66.67 și P′(x)<0P'(x) < 0 pentru x>66.67x > 66.67, deci x=66.67x = 66.67 este punct de maxim.
42 puncte
Profitul maxim este P(2003)=−0.6⋅(2003)2+80⋅2003−500=−0.6⋅400009+160003−500=−240009+480009−45009=195009=65003≈2166.67P\left(\frac{200}{3}\right) = -0.6 \cdot \left(\frac{200}{3}\right)^2 + 80 \cdot \frac{200}{3} - 500 = -0.6 \cdot \frac{40000}{9} + \frac{16000}{3} - 500 = -\frac{24000}{9} + \frac{48000}{9} - \frac{4500}{9} = \frac{19500}{9} = \frac{6500}{3} \approx 2166.67 lei. Răspuns: x=66.67x = 66.67 unități, profit maxim 65003\frac{6500}{3} lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.