MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Costul total de producție pentru un produs este dat de funcția C(x)=x3−6x2+15x+200C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 200, unde xx este numărul de unități produse. Găsiți cantitatea xx care minimizează costul mediu pe unitate, definit ca Cˉ(x)=C(x)x\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți funcția cost mediu: Cˉ(x)=x3−6x2+15x+200x=x2−6x+15+200x\bar{C}(x) = \frac{x^3 - 6x^2 + 15x + 200}{x} = x^2 - 6x + 15 + \frac{200}{x}.
23 puncte
Calculați derivata funcției cost mediu: Cˉ′(x)=2x−6−200x2\bar{C}'(x) = 2x - 6 - \frac{200}{x^2}.
32 puncte
Seteți derivata egală cu zero pentru a găsi punctele critice: 2x−6−200x2=02x - 6 - \frac{200}{x^2} = 0.
42 puncte
Rezolvați ecuația: multiplicați cu x2x^2 pentru a obține 2x3−6x2−200=02x^3 - 6x^2 - 200 = 0 sau x3−3x2−100=0x^3 - 3x^2 - 100 = 0. Prin teste, observați că x=5x=5 dă valoare negativă și x=6x=6 dă valoare pozitivă, deci rădăcina este între 5 și 6; pentru minim, se poate aproxima x≈5.5x \approx 5.5 sau folosi metode numerice pentru soluție mai exactă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.