MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăMatriciSisteme de Ecuații Liniare
O firmă are trei sectoare: agricultură, industrie, servicii. Matricea coeficienților tehnologici este A=(0.20.10.30.40.30.20.10.20.1)A = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.1 & 0.3 \\ 0.4 & 0.3 & 0.2 \\ 0.1 & 0.2 & 0.1 \end{pmatrix}. Dacă cererea finală este dată de vectorul d=(100200150)d = \begin{pmatrix} 100 \\ 200 \\ 150 \end{pmatrix} (în milioane de unități monetare), să se determine producția totală necesară în fiecare sector folosind modelul input-output al lui Leontief. Se știe că producția totală xx satisface ecuația x=Ax+dx = Ax + d.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Scrierea ecuației x=Ax+dx = Ax + d.
22 puncte
Rearanjarea ecuației pentru a obține (I−A)x=d(I - A)x = d.
32 puncte
Calculul matricei I−A=(0.8−0.1−0.3−0.40.7−0.2−0.1−0.20.9)I - A = \begin{pmatrix} 0.8 & -0.1 & -0.3 \\ -0.4 & 0.7 & -0.2 \\ -0.1 & -0.2 & 0.9 \end{pmatrix}.
43 puncte
Găsirea inversei matricei I−AI - A prin calculul determinantului și a matricei adjuncte. Determinantul este 0.8⋅(0.7⋅0.9−(−0.2)⋅(−0.2))−(−0.1)⋅(−0.4⋅0.9−(−0.2)⋅(−0.1))+(−0.3)⋅(−0.4⋅(−0.2)−0.7⋅(−0.1))=0.3890.8 \cdot (0.7 \cdot 0.9 - (-0.2) \cdot (-0.2)) - (-0.1) \cdot (-0.4 \cdot 0.9 - (-0.2) \cdot (-0.1)) + (-0.3) \cdot (-0.4 \cdot (-0.2) - 0.7 \cdot (-0.1)) = 0.389. Apoi, se calculează inversa.
52 puncte
Rezolvarea sistemului x=(I−A)−1dx = (I - A)^{-1} d prin înmulțirea matricială, obținând vectorul producției xx.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.