MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un produs cu un cost total dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare per unitate este dat de funcția p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.

Rezolvare completă

step 1 (2 puncte): Scrieți funcția de venit: R(x)=p(x)⋅x=(200−0.5x)x=200x−0.5x2R(x) = p(x) \cdot x = (200 - 0.5x)x = 200x - 0.5x^2. step 2 (2 puncte): Scrieți funcția de profit: P(x)=R(x)−C(x)=(200x−0.5x2)−(0.1x2+50x+1000)=200x−0.5x2−0.1x2−50x−1000=150x−0.6x2−1000P(x) = R(x) - C(x) = (200x - 0.5x^2) - (0.1x^2 + 50x + 1000) = 200x - 0.5x^2 - 0.1x^2 - 50x - 1000 = 150x - 0.6x^2 - 1000. step 3 (2 puncte): Calculați derivata funcției de profit: P′(x)=150−1.2xP'(x) = 150 - 1.2x. step 4 (2 puncte): Aflați punctul critic prin rezolvarea ecuației P′(x)=0P'(x) = 0: 150−1.2x=0⇒x=1501.2=125150 - 1.2x = 0 \Rightarrow x = \frac{150}{1.2} = 125. step 5 (1 punct): Verificați că acesta este un maxim folosind derivata a doua: P′′(x)=−1.2<0P''(x) = -1.2 < 0, deci x=125x = 125 este punct de maxim. step 6 (1 punct): Calculați profitul maxim: P(125)=150⋅125−0.6⋅1252−1000=18750−0.6⋅15625−1000=18750−9375−1000=8375P(125) = 150 \cdot 125 - 0.6 \cdot 125^2 - 1000 = 18750 - 0.6 \cdot 15625 - 1000 = 18750 - 9375 - 1000 = 8375 lei.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.