MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={x∈R∣x>0}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∗* definită prin x∗y=xyx * y = \sqrt{xy} pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați că pentru orice x,y∈Gx, y \in G, x∗y=xy>0x * y = \sqrt{xy} > 0, deci x∗y∈Gx * y \in G (închidere).
23 puncte
Demonstrați asociativitatea: (x∗y)∗z=xy⋅z=xyz24(x * y) * z = \sqrt{\sqrt{xy} \cdot z} = \sqrt[4]{xy z^2} și x∗(y∗z)=x⋅yz=x2yz4x * (y * z) = \sqrt{x \cdot \sqrt{yz}} = \sqrt[4]{x^2 yz}; se arată că sunt egale prin ridicare la puterea a patra.
32 puncte
Elementul neutru este e=1e = 1, deoarece x∗1=x⋅1=x=xx * 1 = \sqrt{x \cdot 1} = \sqrt{x} = x și 1∗x=1⋅x=x=x1 * x = \sqrt{1 \cdot x} = \sqrt{x} = x pentru orice x∈Gx \in G.
43 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, inversul este x−1=1x2x^{-1} = \frac{1}{x^2}, deoarece x∗1x2=x⋅1x2=1x=1x=ex * \frac{1}{x^2} = \sqrt{x \cdot \frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} = e și similar pentru comutativitate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.