MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Enumerați elementele lui S3S_3: S3={e,(12),(13),(23),(123),(132)}S_3 = \{ e, (12), (13), (23), (123), (132) \}, unde ee este permutarea identitate. Ordinele: ee ordin 1, (12),(13),(23)(12), (13), (23) ordin 2, (123),(132)(123), (132) ordin 3.\n
23 puncte
Identificați toate subgrupurile: subgrupul trivial {e}\{e\}, subgrupurile de ordin 2: {e,(12)},{e,(13)},{e,(23)}\{e, (12)\}, \{e, (13)\}, \{e, (23)\}, subgrupul de ordin 3: {e,(123),(132)}\{e, (123), (132)\}, și întregul grup S3S_3.\n
33 puncte
Verificați normalitatea: {e}\{e\} și S3S_3 sunt normale. Subgrupul de ordin 3 este normal deoarece are indice 2. Subgrupurile de ordin 2 nu sunt normale; de exemplu, pentru {e,(12)}\{e, (12)\} și (13)∈S3(13) \in S_3, (13)(12)(13)−1=(23)∉{e,(12)}(13)(12)(13)^{-1} = (23) \notin \{e, (12)\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#3Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Mediu#4GrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, *) este un grup.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.