MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scrieți ipoteza: pentru orice x∈Gx \in G, x∗x=ex * x = e.
26 puncte
Demonstrați comutativitatea: luați a,b∈Ga, b \in G arbitrare. Din a2=ea^2 = e, avem a=a−1a = a^{-1}, și similar b=b−1b = b^{-1}. Atunci (a∗b)−1=b−1∗a−1=b∗a(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1} = b * a. Dar din (a∗b)2=e(a * b)^2 = e, avem a∗b=(a∗b)−1a * b = (a * b)^{-1}, deci a∗b=b∗aa * b = b * a.
32 puncte
Concluzia: deoarece pentru orice a,b∈Ga,b \in G, a∗b=b∗aa * b = b * a, grupul GG este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4GrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, *) este un grup.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.