MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie mulțimea G={(ab−ba)∣a,b∈R,a2+b2≠0}G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 \neq 0 \right\}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verifică închiderea operației: pentru orice (ab−ba),(cd−dc)∈G\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \in G, produsul (ab−ba)(cd−dc)=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd & ad + bc \\ -(ad + bc) & ac - bd \end{pmatrix} are forma cerută cu (ac−bd)2+(ad+bc)2=(a2+b2)(c2+d2)≠0(ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \neq 0, deci aparține lui GG.
22 puncte
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor peste R\mathbb{R}.
33 puncte
Matricea identitate I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} aparține lui GG (cu a=1,b=0a=1, b=0) și este element neutru.
42 puncte
Pentru (ab−ba)∈G\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \in G, inversa este 1a2+b2(a−bba)\frac{1}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care are forma cerută și aparține lui GG deoarece (aa2+b2)2+(−ba2+b2)2=1a2+b2≠0\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^2 + \left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)^2 = \frac{1}{a^2+b^2} \neq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.