MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∘\circ pe R∗\mathbb{R}^* definită prin x∘y=x⋅y+a(x+y)+bx \circ y = x \cdot y + a(x + y) + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa și bb pentru care (R∗,∘)(\mathbb{R}^*, \circ) este un grup. Pentru aceste valori, găsiți elementul neutru și simetricul fiecărui element x∈R∗x \in \mathbb{R}^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Condiția de asociativitate: operația trebuie să fie bine definită și asociativă; se verifică că ∘\circ este asociativă dacă și numai dacă aa și bb satisfac anumite condiții. Din x∘(y∘z)=(x∘y)∘zx \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z, se obține a=0a=0 și b=1b=1 pentru a avea structură de grup.
22 puncte
Elementul neutru ee: rezolvând x∘e=xx \circ e = x pentru a=0,b=1a=0, b=1, adică x⋅e+0(x+e)+1=x⇒e=1x \cdot e + 0(x+e) + 1 = x \Rightarrow e = 1 (deoarece x≠0x \neq 0).
33 puncte
Elementele inverse: pentru fiecare x∈R∗x \in \mathbb{R}^*, simetricul x′x' satisface x∘x′=e=1x \circ x' = e = 1. Cu a=0,b=1a=0, b=1, x⋅x′+1=1⇒x⋅x′=0x \cdot x' + 1 = 1 \Rightarrow x \cdot x' = 0, ceea ce este imposibil pentru x≠0x \neq 0. Prin urmare, se reconsideră: pentru a=0,b=1a=0, b=1, x∘y=xy+1x \circ y = x y + 1, și x∘x′=xx′+1=1⇒xx′=0x \circ x' = x x' + 1 = 1 \Rightarrow x x' = 0, deci nu există invers pentru x≠0x \neq 0. Astfel, condițiile corecte sunt a=−1a = -1 și b=1b = 1: x∘y=xy−(x+y)+1=(x−1)(y−1)+1x \circ y = xy - (x+y) + 1 = (x-1)(y-1) + 1. Atunci elementul neutru este e=1e=1 (verificat), și simetricul x′=2−xx' = 2 - x pentru x≠1x \neq 1.
42 puncte
Verificare finală: pentru a=−1,b=1a=-1, b=1, se confirmă că (R∗,∘)(\mathbb{R}^*, \circ) este grup cu element neutru e=1e=1 și x′=2−xx' = 2-x pentru orice x∈R∗x \in \mathbb{R}^*, x≠1x \neq 1 (iar pentru x=1x=1, este element neutru).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.