MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={x∈R∣x≠−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy, pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Deoarece x≠−1x \neq -1 și y≠−1y \neq -1, produsul xyxy este definit și x+y+xy∈Rx + y + xy \in \mathbb{R}. Trebuie să arătăm că x∗y≠−1x * y \neq -1. Presupunem că x∗y=−1x * y = -1, atunci x+y+xy=−1⇒(x+1)(y+1)=0x + y + xy = -1 \Rightarrow (x+1)(y+1)=0, deci x=−1x=-1 sau y=−1y=-1, contradicție. Așadar, x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz. Se observă că ambele expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Gx \in G. x∗e=x+e+xe=x⇒e+xe=0⇒e(1+x)=0x * e = x + e + xe = x \Rightarrow e + xe = 0 \Rightarrow e(1+x)=0. Pentru a avea pentru orice xx, e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+0+x⋅0=xx * 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x, și 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0 \cdot x = x, deci e=0e=0 este elementul neutru și 0∈G0 \in G deoarece 0≠−10 \neq -1.
43 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm inversul x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. x∗x′=x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−x⇒x′=−x1+xx * x' = x + x' + xx' = 0 \Rightarrow x'(1+x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1+x}, care există deoarece x≠−1x \neq -1. Verificăm că x′∈Gx' \in G: x′≠−1x' \neq -1 deoarece dacă −x1+x=−1⇒−x=−1−x⇒0=−1\frac{-x}{1+x} = -1 \Rightarrow -x = -1 - x \Rightarrow 0=-1, fals. Așadar, fiecare element are un invers în G.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.