MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Fie mulțimea S={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}S = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \} cu operația de înmulțire a matricelor. Demonstrați că (S,⋅)(S, \cdot) este un grup. Este acest grup abelian?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Închiderea: pentru orice A,B∈SA, B \in S, avem det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈SAB \in S.
22 puncte
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor, deoarece (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC) pentru orice A,B,C∈SA, B, C \in S.
32 puncte
Elementul neutru este matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, cu det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1 și pentru orice A∈SA \in S, A⋅I2=I2⋅A=AA \cdot I_2 = I_2 \cdot A = A.
42 puncte
Pentru orice A∈SA \in S, deoarece det⁡(A)=1≠0\det(A) = 1 \neq 0, există inversa A−1A^{-1} și det⁡(A−1)=1det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = 1, deci A−1∈SA^{-1} \in S și A⋅A−1=A−1⋅A=I2A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_2.
52 puncte
Grupul nu este abelian. Pentru a demonstra, considerăm exemplul A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(1011)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, ambele din SS deoarece det⁡(A)=det⁡(B)=1\det(A) = \det(B) = 1. Calculăm AB=(2111)AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} și BA=(1112)BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, care sunt diferite, deci AB≠BAAB \neq BA.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.