MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriIdentități algebrice
Fie (G,∗)(G, *) un grup astfel încât pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem (x∗y)2=x2∗y2(x*y)^2 = x^2 * y^2. Demonstrați că GG este grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți condiția dată sub forma (x∗y)∗(x∗y)=(x∗x)∗(y∗y)(x*y)*(x*y) = (x*x)*(y*y).
24 puncte
Folosiți asociativitatea pentru a obține x∗y∗x∗y=x∗x∗y∗yx*y*x*y = x*x*y*y, apoi simplificați prin înmulțirea la stânga cu x−1x^{-1} și la dreapta cu y−1y^{-1} pentru a deduce y∗x=x∗yy*x = x*y.
33 puncte
Concluzionați că operația este comutativă pentru orice x,y∈Gx, y \in G, deci GG este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.