MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriCombinatorică
Considerăm grupul simetric S3S_3 al permutărilor a trei elemente. Arătați că mulțimea A3A_3 a permutărilor pare formează un subgrup al lui S3S_3, și calculați indicele [S3:A3][S_3 : A_3].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
S3S_3 are 6 elemente: identitatea ee, transpozițiile (12)(12), (13)(13), (23)(23), și ciclurile de lungime 3 (123)(123) și (132)(132). Permutările pare sunt ee, (123)(123), (132)(132), deci A3={e,(123),(132)}A_3 = \{e, (123), (132)\}.
23 puncte
Verificăm închiderea sub compunere: (123)∘(132)=e(123) \circ (132) = e, (123)∘(123)=(132)(123) \circ (123) = (132), etc., toate compunerile dau elemente din A3A_3.
32 puncte
ee este element neutru în A3A_3, și fiecare element are invers în A3A_3: e−1=ee^{-1}=e, (123)−1=(132)(123)^{-1}=(132), (132)−1=(123)(132)^{-1}=(123).
42 puncte
Indicele este [S3:A3]=∣S3∣∣A3∣=63=2[S_3 : A_3] = \frac{|S_3|}{|A_3|} = \frac{6}{3} = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.