MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G={a+b2∣a,b∈Q}∖{0}G = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \} \setminus \{0\} cu operația de înmulțire. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup abelian. Apoi, găsiți inversul elementului 3+223 + 2\sqrt{2} în acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice x=a1+b12,y=a2+b22∈Gx = a_1 + b_1\sqrt{2}, y = a_2 + b_2\sqrt{2} \in G, produsul xy=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+a2b1)2xy = (a_1a_2 + 2b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{2} are coeficienți raționali, deci xy∈Gxy \in G.
21 punct
Asociativitatea: operația este asociativă deoarece înmulțirea numerelor reale este asociativă și G⊂RG \subset \mathbb{R}.
31 punct
Elementul neutru: 1=1+02∈G1 = 1 + 0\sqrt{2} \in G și pentru orice x∈Gx \in G, x⋅1=xx \cdot 1 = x.
43 puncte
Inversul fiecărui element: pentru x=a+b2∈Gx = a + b\sqrt{2} \in G, considerăm x−1=a−b2a2−2b2x^{-1} = \frac{a - b\sqrt{2}}{a^2 - 2b^2}; deoarece a2−2b2≠0a^2 - 2b^2 \neq 0 (altfel x=0x=0, exclus) și coeficienții sunt raționali, avem x−1∈Gx^{-1} \in G și x⋅x−1=1x \cdot x^{-1} = 1.
51 punct
Comutativitatea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, xy=yxxy = yx din comutativitatea înmulțirii reale, deci grupul este abelian.
62 puncte
Pentru 3+223 + 2\sqrt{2}, inversul este 3−2232−2⋅22=3−229−8=3−22\frac{3 - 2\sqrt{2}}{3^2 - 2 \cdot 2^2} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.