MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriFuncția de gradul ILegi de compoziție
Fie mulțimea G={fa,b:R→R∣fa,b(x)=ax+b, cu a,b∈R,a≠0}G = \{ f_{a,b} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f_{a,b}(x) = ax + b, \text{ cu } a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \}. Se definește operația ∘\circ pe GG ca fiind compunerea funcțiilor. Arătați că (G,∘)(G, \circ) este un grup. Este acest grup abelian? Găsiți elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice fa,b,fc,d∈Gf_{a,b}, f_{c,d} \in G, fa,b∘fc,d(x)=a(cx+d)+b=acx+(ad+b)f_{a,b} \circ f_{c,d}(x) = a(cx + d) + b = acx + (ad + b), iar ac≠0ac \neq 0 deoarece a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, deci fa,b∘fc,d∈Gf_{a,b} \circ f_{c,d} \in G.
22 puncte
Verificarea asociativității: compunerea funcțiilor este întotdeauna asociativă, deci pentru orice fa,b,fc,d,fe,f∈Gf_{a,b}, f_{c,d}, f_{e,f} \in G, (fa,b∘fc,d)∘fe,f=fa,b∘(fc,d∘fe,f)(f_{a,b} \circ f_{c,d}) \circ f_{e,f} = f_{a,b} \circ (f_{c,d} \circ f_{e,f}).
32 puncte
Găsirea elementului neutru: f1,0(x)=xf_{1,0}(x) = x este elementul neutru, deoarece fa,b∘f1,0=fa,bf_{a,b} \circ f_{1,0} = f_{a,b} și f1,0∘fa,b=fa,bf_{1,0} \circ f_{a,b} = f_{a,b}.
42 puncte
Găsirea inverselor: pentru fa,b∈Gf_{a,b} \in G, inversa este f1/a,−b/af_{1/a, -b/a} deoarece fa,b∘f1/a,−b/a(x)=a((1/a)x−b/a)+b=xf_{a,b} \circ f_{1/a, -b/a}(x) = a((1/a)x - b/a) + b = x și f1/a,−b/a∘fa,b(x)=(1/a)(ax+b)−b/a=xf_{1/a, -b/a} \circ f_{a,b}(x) = (1/a)(ax + b) - b/a = x.
51 punct
Verificarea comutativității: grupul nu este abelian; de exemplu, f2,0∘f1,1(x)=2(x+1)=2x+2f_{2,0} \circ f_{1,1}(x) = 2(x+1) = 2x+2, iar f1,1∘f2,0(x)=2x+1f_{1,1} \circ f_{2,0}(x) = 2x+1, care sunt diferite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.