MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu elementul neutru ee. Pentru orice a,b∈Ga, b \in G, se definește comutatorul [a,b]=a∗b∗a−1∗b−1[a,b] = a * b * a^{-1} * b^{-1}. Demonstrați că dacă [a,b]=e[a,b] = e pentru toate a,b∈Ga, b \in G, atunci GG este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Presupunem că [a,b]=e[a,b] = e pentru orice a,b∈Ga, b \in G. Aceasta înseamnă că a∗b∗a−1∗b−1=ea * b * a^{-1} * b^{-1} = e.
24 puncte
Înmulțim ambii membri ai egalității a∗b∗a−1∗b−1=ea * b * a^{-1} * b^{-1} = e cu bb din dreapta: a∗b∗a−1∗b−1∗b=e∗ba * b * a^{-1} * b^{-1} * b = e * b, deci a∗b∗a−1=ba * b * a^{-1} = b.
33 puncte
Acum, înmulțim cu aa din dreapta: a∗b∗a−1∗a=b∗aa * b * a^{-1} * a = b * a, deci a∗b=b∗aa * b = b * a. Astfel, pentru orice a,b∈Ga, b \in G, avem a∗b=b∗aa * b = b * a, deci GG este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.