MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție ∗* prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab, pentru orice a,b∈R∖{1}a, b \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. Studiați dacă (R∖{1},∗)(\mathbb{R} \setminus \{1\}, *) formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice a,b∈R∖{1}a, b \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, arătați că a∗b≠1a * b \neq 1, adică a+b−ab≠1a + b - ab \neq 1; aceasta implică a∗b∈R∖{1}a * b \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.
23 puncte
Asociativitatea: demonstrați că (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c) pentru orice a,b,c∈R∖{1}a, b, c \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, calculând ambele expresii și obținând a+b+c−ab−ac−bc+abca + b + c - ab - ac - bc + abc.
32 puncte
Elementul neutru: căutați e∈R∖{1}e \in \mathbb{R} \setminus \{1\} astfel încât a∗e=aa * e = a; din a+e−ae=aa + e - ae = a se obține e(1−a)=0e(1-a)=0, deci e=0e=0, și se verifică că 0∈R∖{1}0 \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.
42 puncte
Elementele simetrizabile: pentru fiecare a∈R∖{1}a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, căutați a′a' astfel încât a∗a′=0a * a' = 0; rezolvând a+a′−aa′=0a + a' - aa' = 0 se obține a′=aa−1a' = \frac{a}{a-1}, și se verifică că a′≠1a' \neq 1, deci a′∈R∖{1}a' \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.
51 punct
Concluzie: toate proprietățile sunt satisfăcute, deci (R∖{1},∗)(\mathbb{R} \setminus \{1\}, *) este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.