MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={x∈R∣x≠−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și operația ∗\ast definită prin x∗y=x+y+xyx \ast y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, \ast) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru x,y∈Gx, y \in G, x∗y=x+y+xyx \ast y = x + y + xy. Deoarece x,y≠−1x, y \neq -1, rezultă x∗y≠−1x \ast y \neq -1, deci x∗y∈Gx \ast y \in G.
22 puncte
Se demonstrează asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, (x∗y)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x \ast y) \ast z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx \ast (y \ast z) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz, deci sunt egale.
32 puncte
Se găsește elementul neutru: se rezolvă x∗e=xx \ast e = x, adică x+e+xe=xx + e + xe = x, de unde e(1+x)=0e(1+x) = 0, iar cum x≠−1x \neq -1, rezultă e=0e = 0. Se verifică că 0∗x=x∗0=x0 \ast x = x \ast 0 = x.
42 puncte
Se determină inversul: pentru x∈Gx \in G, se rezolvă x∗x−1=0x \ast x^{-1} = 0, adică x+x−1+xx−1=0x + x^{-1} + xx^{-1} = 0, de unde x−1(1+x)=−xx^{-1}(1+x) = -x, iar cum x≠−1x \neq -1, x−1=−x1+xx^{-1} = \frac{-x}{1+x}. Se verifică că x−1≠−1x^{-1} \neq -1 și că x∗x−1=x−1∗x=0x \ast x^{-1} = x^{-1} \ast x = 0.
52 puncte
Se verifică comutativitatea: x∗y=x+y+xy=y+x+yx=y∗xx \ast y = x + y + xy = y + x + yx = y \ast x, deci grupul este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.