MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} mulțimea numerelor complexe de modul 1. Considerăm operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. Determinați ordinul elementului z=12+i32z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} în acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Verificăm că (G,⋅)(G, \cdot) este grup: asociativitatea rezultă din asociativitatea înmulțirii numerelor complexe; elementul neutru este 1∈G1 \in G deoarece ∣1∣=1|1|=1; pentru orice z∈Gz \in G, inversul este z−1=zˉz^{-1} = \bar{z} sau 1z\frac{1}{z}, și ∣z−1∣=1∣z∣=1|z^{-1}| = \frac{1}{|z|} = 1, deci z−1∈Gz^{-1} \in G; închiderea: pentru z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.
23 puncte
Scriem zz în formă trigonometrică: z=cos⁡π3+isin⁡π3=eiπ/3z = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3} = e^{i\pi/3}. Ordinul lui zz este cel mai mic număr întreg pozitiv nn astfel încât zn=1z^n = 1, adică einπ/3=1⇒cos⁡nπ3=1e^{i n \pi/3} = 1 \Rightarrow \cos\frac{n\pi}{3} = 1 și sin⁡nπ3=0\sin\frac{n\pi}{3} = 0.
33 puncte
Rezolvăm: nπ3=2kπ\frac{n\pi}{3} = 2k\pi cu k∈Zk \in \mathbb{Z}, deci n=6kn = 6k. Cel mai mic nn pozitiv este 66, deci ordinul lui zz este 66.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.