MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ∗* definită prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2 pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea asociativității: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, se calculează (x∗y)∗z(x * y) * z și x∗(y∗z)x * (y * z), se obține același rezultat xyz−xy−xz−yz+2x+2y+2z−2xyz - xy - xz - yz + 2x + 2y + 2z - 2.
23 puncte
Găsirea elementului neutru: se rezolvă e∗x=xe * x = x pentru orice x∈Gx \in G, adică ex−e−x+2=xex - e - x + 2 = x, de unde e=2e = 2; se verifică că 2∗x=x∗2=x2 * x = x * 2 = x.
34 puncte
Verificarea existenței elementelor simetrice: pentru fiecare x∈Gx \in G, se găsește x′∈Gx' \in G astfel încât x∗x′=2x * x' = 2, rezolvând xx′−x−x′+2=2xx' - x - x' + 2 = 2, de unde x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}; se verifică că x′∈Gx' \in G și că x∗x′=x′∗x=2x * x' = x' * x = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.