MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Considerăm mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{A \in M_2(\mathbb{R}) | \det(A) = 1\} cu operația de înmulțire a matricelor. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup. Este acest grup abelian?

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice A,B∈GA, B \in G, det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)=1⋅1=1\det(AB) = \det(A)\det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci AB∈GAB \in G.
22 puncte
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea matricelor.
32 puncte
Elementul neutru este matricea identitate I2I_2 cu det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1, deci I2∈GI_2 \in G.
42 puncte
Pentru orice A∈GA \in G, inversa A−1A^{-1} există și det⁡(A−1)=1/det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1, deci A−1∈GA^{-1} \in G.
52 puncte
Grupul nu este abelian; un contraexemplu: A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(1011)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, unde AB≠BAAB \neq BA.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.