MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∗* definită prin x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, *) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea. Pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculăm (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x*y)*z = (xy+x+y)*z = (xy+x+y)z + (xy+x+y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx*(y*z) = x*(yz+y+z) = x(yz+y+z) + x + (yz+y+z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
23 puncte
Căutăm elementul neutru e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx*e = x pentru orice x∈Gx \in G. Rezolvăm x∗e=xe+x+e=x⇒xe+e=0⇒e(x+1)=0x*e = xe + x + e = x \Rightarrow xe + e = 0 \Rightarrow e(x+1)=0. Deoarece x≠−1x \neq -1, obținem e=0e=0. Verificăm: x∗0=x⋅0+x+0=xx*0 = x\cdot0 + x + 0 = x, deci e=0∈Ge=0 \in G este elementul neutru.
33 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm inversul x′∈Gx' \in G astfel încât x∗x′=e=0x*x' = e = 0. Rezolvăm x∗x′=xx′+x+x′=0⇒x′(x+1)=−x⇒x′=−xx+1x*x' = xx' + x + x' = 0 \Rightarrow x'(x+1) = -x \Rightarrow x' = -\frac{x}{x+1}. Această valoare aparține lui GG deoarece x≠−1x \neq -1, deci x+1≠0x+1 \neq 0.
41 punct
Verificăm comutativitatea: x∗y=xy+x+y=yx+y+x=y∗xx*y = xy + x + y = yx + y + x = y*x pentru orice x,y∈Gx, y \in G, deci operația este comutativă. În concluzie, (G,∗)(G, *) este grup abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.