MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G=R∖{−1}G = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificați închiderea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Dacă x+y+xy=−1x + y + xy = -1, atunci (x+1)(y+1)=0(x+1)(y+1)=0, deci x=−1x=-1 sau y=−1y=-1, contradicție. Așadar, x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Demonstrați asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz. Similar, x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+xy+xz+yz+xyzx * (y * z) = x * (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + xy + xz + yz + xyz. Prin urmare, (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z).
32 puncte
Găsiți elementul neutru: fie e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Gx \in G. Rezultă x+e+xe=x⇒e(1+x)=0x + e + xe = x \Rightarrow e(1+x)=0. Cum x≠−1x \neq -1, obținem e=0e=0. Verificați că 0∗x=x0 * x = x.
43 puncte
Pentru fiecare x∈Gx \in G, găsiți inversul x−1x^{-1}: din x∗x−1=0x * x^{-1} = 0, avem x+x−1+xx−1=0⇒x−1(1+x)=−x⇒x−1=−x1+xx + x^{-1} + x x^{-1} = 0 \Rightarrow x^{-1}(1+x) = -x \Rightarrow x^{-1} = \frac{-x}{1+x}, care aparține lui GG deoarece x≠−1x \neq -1. Verificați că x−1∗x=0x^{-1} * x = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.