MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriFuncția de gradul IAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie H={fa,b:R→R∣fa,b(x)=ax+b, a,b∈R, a≠0}H = \{ f_{a,b} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f_{a,b}(x) = ax + b, \, a,b \in \mathbb{R}, \, a \neq 0 \} mulțimea funcțiilor afine. Definiți compunerea funcțiilor ca operație. Arătați că (H,∘)(H, \circ) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Verificăm închiderea: Pentru orice fa,b,fc,d∈Hf_{a,b}, f_{c,d} \in H, avem (fa,b∘fc,d)(x)=fa,b(fc,d(x))=a(cx+d)+b=(ac)x+(ad+b)(f_{a,b} \circ f_{c,d})(x) = f_{a,b}(f_{c,d}(x)) = a(cx + d) + b = (ac)x + (ad + b). Deoarece a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, avem ac≠0ac \neq 0, deci fa,b∘fc,d∈Hf_{a,b} \circ f_{c,d} \in H.
21 punct
Asociativitatea: Compunerea funcțiilor este întotdeauna asociativă, deci operația este asociativă pe HH.
32 puncte
Elementul neutru: Funcția identitate f1,0(x)=xf_{1,0}(x) = x este în HH și pentru orice fa,b∈Hf_{a,b} \in H, f1,0∘fa,b=fa,b∘f1,0=fa,bf_{1,0} \circ f_{a,b} = f_{a,b} \circ f_{1,0} = f_{a,b}.
43 puncte
Inversul: Pentru orice fa,b∈Hf_{a,b} \in H, inversa este fa−1,−a−1b(x)=1ax−baf_{a^{-1}, -a^{-1}b}(x) = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a}, care este în HH deoarece 1a≠0\frac{1}{a} \neq 0. Verificăm: fa,b∘fa−1,−a−1b(x)=a(1ax−ba)+b=xf_{a,b} \circ f_{a^{-1}, -a^{-1}b}(x) = a\left(\frac{1}{a}x - \frac{b}{a}\right) + b = x și similar fa−1,−a−1b∘fa,b(x)=xf_{a^{-1}, -a^{-1}b} \circ f_{a,b}(x) = x.
51 punct
Concluzie: (H,∘)(H, \circ) este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.