MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie U(10)U(10) mulțimea elementelor inversabile din Z10\mathbb{Z}_{10} cu înmulțirea modulo 10. a) Determinați elementele lui U(10)U(10). b) Demonstrați că (U(10),⋅)(U(10), \cdot) este un grup. c) Studiați dacă grupul este ciclic.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinarea elementelor lui U(10)U(10): un element [a]∈Z10[a] \in \mathbb{Z}_{10} este inversabil dacă gcd⁡(a,10)=1\gcd(a,10)=1. Astfel, U(10)={[1],[3],[7],[9]}U(10) = \{ [1], [3], [7], [9] \}.\n
24 puncte
Verificarea axiomelor de grup pentru (U(10),⋅)(U(10), \cdot): \n- Închiderea: pentru orice [a],[b]∈U(10)[a], [b] \in U(10), [a]⋅[b]=[ab][a] \cdot [b] = [ab] și gcd⁡(ab,10)=1\gcd(ab,10)=1 deci [ab]∈U(10)[ab] \in U(10). \n- Asociativitatea: înmulțirea modulo 10 este asociativă. \n- Elementul neutru: [1]∈U(10)[1] \in U(10) și [a]⋅[1]=[1]⋅[a]=[a][a] \cdot [1] = [1] \cdot [a] = [a] pentru orice [a]∈U(10)[a] \in U(10). \n- Elemente inverse: pentru fiecare [a]∈U(10)[a] \in U(10), există [b]∈U(10)[b] \in U(10) astfel încât [a]⋅[b]=[1][a] \cdot [b] = [1]; inversele sunt [1]−1=[1][1]^{-1}=[1], [3]−1=[7][3]^{-1}=[7], [7]−1=[3][7]^{-1}=[3], [9]−1=[9][9]^{-1}=[9].\n
33 puncte
Studiul ciclicității: calculăm ordinele elementelor. Ordinul lui [1][1] este 1. Pentru [3][3]: [3]2=[9][3]^2=[9], [3]3=[7][3]^3=[7], [3]4=[1][3]^4=[1], deci ordinul 4. Similar, [7][7] are ordinul 4, iar [9][9] are ordinul 2. Grupul are 4 elemente, iar [3][3] și [7][7] au ordinul 4, deci generează grupul; astfel, U(10)U(10) este ciclic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.