MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieEcuații exponentiale
Considerăm mulțimea Z7∗={1,2,3,4,5,6}\mathbb{Z}_7^* = \{1,2,3,4,5,6\} cu operația de înmulțire modulo 7. a) Demonstrați că (Z7∗,⋅)(\mathbb{Z}_7^*, \cdot) este grup. b) Determinați ordinea fiecărui element din grup. c) Rezolvați ecuația x3≡6(mod7)x^3 \equiv 6 \pmod{7} în Z7∗\mathbb{Z}_7^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrarea că (Z7∗,⋅)(\mathbb{Z}_7^*, \cdot) este grup: a) închiderea: produsul modulo 7 al oricăror două numere din Z7∗\mathbb{Z}_7^* este în Z7∗\mathbb{Z}_7^* deoarece 7 este prim și produsul nu este multiplu de 7; b) asociativitatea: înmulțirea modulo 7 este asociativă, fiind restricția înmulțirii obișnuite; c) elementul neutru: 1, deoarece a⋅1≡a(mod7)a \cdot 1 \equiv a \pmod{7} pentru orice aa; d) inversele: pentru fiecare a∈Z7∗a \in \mathbb{Z}_7^*, există bb astfel încât ab≡1(mod7)ab \equiv 1 \pmod{7} (de exemplu, inversul lui 2 este 4, al lui 3 este 5, al lui 4 este 2, al lui 5 este 3, al lui 6 este 6).
23 puncte
Determinarea ordinelor: ordinea unui element aa este cel mai mic k>0k>0 astfel încât ak≡1(mod7)a^k \equiv 1 \pmod{7}. Calculăm: 11≡11^1 \equiv 1 (ordin 1), 23=8≡12^3=8 \equiv 1 (ordin 3), 36=729≡13^6=729 \equiv 1 (ordin 6), 43=64≡14^3=64 \equiv 1 (ordin 3), 56=15625≡15^6=15625 \equiv 1 (ordin 6), 62=36≡16^2=36 \equiv 1 (ordin 2).
33 puncte
Rezolvarea ecuației x3≡6(mod7)x^3 \equiv 6 \pmod{7}: verificăm fiecare element: 13=1≢61^3=1 \not\equiv 6, 23=8≡1≢62^3=8 \equiv 1 \not\equiv 6, 33=27≡63^3=27 \equiv 6, 43=64≡1≢64^3=64 \equiv 1 \not\equiv 6, 53=125≡65^3=125 \equiv 6, 63=216≡66^3=216 \equiv 6. Deci soluțiile sunt x=3,5,6x=3,5,6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.