MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și a,b∈Ga, b \in G astfel încât a2=b2=(ab)2=ea^2 = b^2 = (ab)^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că ab=baab = ba.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din a2=ea^2 = e, rezultă că aa este propriul său invers, adică a−1=aa^{-1} = a.\n
23 puncte
Din b2=eb^2 = e, rezultă că b−1=bb^{-1} = b.\n
32 puncte
Din (ab)2=e(ab)^2 = e, rezultă că (ab)−1=ab(ab)^{-1} = ab.\n
42 puncte
Folosind proprietatea că (ab)−1=b−1a−1(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}, și substituind a−1=aa^{-1} = a și b−1=bb^{-1} = b, obținem ab=b−1a−1=baab = b^{-1}a^{-1} = ba, deci ab=baab = ba.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.