MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea G={x∈R∣x≠−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și operația ∗\ast definită prin x∗y=x+y+xyx \ast y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Verificați dacă (G,∗)(G, \ast) formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică închiderea operației ∗\ast pe GG: pentru x,y∈Gx, y \in G, avem x∗y=x+y+xyx \ast y = x + y + xy. Observăm că x∗y+1=(x+1)(y+1)x \ast y + 1 = (x+1)(y+1), iar din x≠−1x \neq -1 și y≠−1y \neq -1 rezultă (x+1)(y+1)≠0(x+1)(y+1) \neq 0, deci x∗y≠−1x \ast y \neq -1, adică x∗y∈Gx \ast y \in G.
23 puncte
Se demonstrează asociativitatea: (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x \ast y) \ast z = (x+y+xy) \ast z = (x+y+xy) + z + (x+y+xy)z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz, iar x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx \ast (y \ast z) = x \ast (y+z+yz) = x + (y+z+yz) + x(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz, deci sunt egale.
32 puncte
Se determină elementul neutru: se caută e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx \ast e = x pentru orice x∈Gx \in G. Din x∗e=x+e+xe=xx \ast e = x+e+xe = x rezultă e(1+x)=0e(1+x)=0, iar cum x≠−1x \neq -1, avem 1+x≠01+x \neq 0, deci e=0e=0. Se verifică că 0∗x=0+x+0⋅x=x0 \ast x = 0+x+0 \cdot x = x, deci e=0∈Ge=0 \in G.
43 puncte
Se arată că fiecare element are invers: pentru x∈Gx \in G, se caută x′∈Gx' \in G astfel încât x∗x′=0x \ast x' = 0. Din x∗x′=x+x′+xx′=0x \ast x' = x+x'+xx' = 0 rezultă x′(1+x)=−xx'(1+x) = -x, deci x′=−x1+xx' = -\frac{x}{1+x}. Deoarece x≠−1x \neq -1, 1+x≠01+x \neq 0, și x′≠−1x' \neq -1 (altfel ar implica contradicție), deci x′∈Gx' \in G.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.