MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriFuncția de gradul I
Considerăm mulțimea M={fa:R→R∣fa(x)=ax,a∈R,a≠0}M = \{ f_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f_a(x) = ax, a \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și operația de compunere a funcțiilor ∘\circ. Demonstrați că (M,∘)(M, \circ) este un grup și studiați dacă este comutativ.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verifică închiderea: pentru orice fa,fb∈Mf_a, f_b \in M, fa∘fb(x)=fa(fb(x))=a(bx)=(ab)x=fab(x)f_a \circ f_b (x) = f_a(f_b(x)) = a(bx) = (ab)x = f_{ab}(x). Deoarece a≠0a \neq 0 și b≠0b \neq 0, avem ab≠0ab \neq 0, deci fab∈Mf_{ab} \in M.
21 punct
Asociativitatea este moștenită de la compunerea funcțiilor, care este asociativă în general.
32 puncte
Elementul neutru este f1(x)=1⋅x=xf_1(x) = 1 \cdot x = x, deoarece fa∘f1=f1∘fa=faf_a \circ f_1 = f_1 \circ f_a = f_a pentru orice fa∈Mf_a \in M, iar 1≠01 \neq 0 deci f1∈Mf_1 \in M.
43 puncte
Pentru orice fa∈Mf_a \in M, inversul este f1/af_{1/a}, deoarece fa∘f1/a(x)=a⋅(1ax)=x=f1(x)f_a \circ f_{1/a} (x) = a \cdot (\frac{1}{a}x) = x = f_1(x) și f1/a∘fa(x)=1a⋅(ax)=x=f1(x)f_{1/a} \circ f_a (x) = \frac{1}{a} \cdot (a x) = x = f_1(x). Cum a≠0a \neq 0, avem 1a≠0\frac{1}{a} \neq 0, deci f1/a∈Mf_{1/a} \in M.
52 puncte
Verifică comutativitatea: pentru orice fa,fb∈Mf_a, f_b \in M, fa∘fb=fabf_a \circ f_b = f_{ab} și fb∘fa=fbaf_b \circ f_a = f_{ba}. În R\mathbb{R}, înmulțirea este comutativă, deci ab=baab = ba, adică fab=fbaf_{ab} = f_{ba}. Astfel, fa∘fb=fb∘faf_a \circ f_b = f_b \circ f_a, deci grupul este comutativ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.