MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Pe mulțimea G=R∖{0}G = \mathbb{R} \setminus \{0\} se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y. Determinați dacă (G,∗)(G, *) este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Gx, y \in G, avem x∗y=xy+x+yx*y = xy + x + y. Trebuie să arătăm că x∗y≠0x*y \neq 0 pentru a fi în GG. Considerăm ecuația xy+x+y=0⇔(x+1)(y+1)=1xy + x + y = 0 \Leftrightarrow (x+1)(y+1) = 1. Există perechi (x,y)(x,y) cu x,y≠0x,y \neq 0 care satisfac aceasta, de exemplu x=0.5,y=−3x=0.5, y=-3, dar atunci x∗y=0∉Gx*y=0 \notin G, deci închiderea nu este satisfăcută pentru toate perechile.\n
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx,y,z \in G, calculăm (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x*y)*z = (xy + x + y)*z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx*(y*z) = x*(yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Expresiile sunt egale, deci operația este asociativă.\n
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx*e = x pentru orice x∈Gx \in G. Avem x∗e=xe+x+e=x⇒xe+e=0⇒e(x+1)=0x*e = xe + x + e = x \Rightarrow xe + e = 0 \Rightarrow e(x+1) = 0. Deoarece această egalitate trebuie să fie adevărată pentru orice x∈Gx \in G, rezultă e=0e = 0, dar 0∉G0 \notin G, deci nu există element neutru.\n
43 puncte
Deoarece închiderea nu este garantată și nu există element neutru, structura (G,∗)(G, *) nu este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.