MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu elementul neutru ee. Pentru un element fixat a∈Ga \in G, considerăm mulțimea H={x∈G∣x∗a=a∗x}H = \{x \in G | x * a = a * x\}. Demonstrați că HH este un subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
HH este nevidă deoarece e∈He \in H: e∗a=a∗e=ae * a = a * e = a.
23 puncte
Pentru x,y∈Hx, y \in H, avem x∗a=a∗xx * a = a * x și y∗a=a∗yy * a = a * y. Atunci, (x∗y)∗a=x∗(y∗a)=x∗(a∗y)=(x∗a)∗y=(a∗x)∗y=a∗(x∗y)(x * y) * a = x * (y * a) = x * (a * y) = (x * a) * y = (a * x) * y = a * (x * y), deci x∗y∈Hx * y \in H.
33 puncte
Pentru x∈Hx \in H, avem x∗a=a∗xx * a = a * x. Înmulțind la stânga cu x−1x^{-1} și la dreapta cu x−1x^{-1}, obținem a∗x−1=x−1∗aa * x^{-1} = x^{-1} * a, deci x−1∈Hx^{-1} \in H.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.