MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R, a≠0}G = \{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb{R}, \ a \neq 0 \} cu operația ∗* definită prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) * (c,d) = (ac, ad + b). Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup. Studiați dacă acest grup este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice (a,b),(c,d),(e,f)∈G(a,b), (c,d), (e,f) \in G, avem ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac, ad+b)*(e,f) = (ace, acf + ad + b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce, cf+d) = (ace, a(cf+d)+b) = (ace, acf + ad + b), deci operația este asociativă.
22 puncte
Elementul neutru este (1,0)(1,0), deoarece (a,b)∗(1,0)=(a⋅1,a⋅0+b)=(a,b)(a,b)*(1,0) = (a\cdot1, a\cdot0 + b) = (a,b) și (1,0)∗(a,b)=(1⋅a,1⋅b+0)=(a,b)(1,0)*(a,b) = (1\cdot a, 1\cdot b + 0) = (a,b).
32 puncte
Inversul lui (a,b)(a,b) este (1a,−ba)\left(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}\right), deoarece (a,b)∗(1a,−ba)=(a⋅1a,a⋅(−ba)+b)=(1,−b+b)=(1,0)(a,b)*\left(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}\right) = \left(a\cdot\frac{1}{a}, a\cdot\left(-\frac{b}{a}\right) + b\right) = (1, -b + b) = (1,0) și similar din partea cealaltă.
43 puncte
Grupul nu este abelian: de exemplu, (1,1)∗(2,0)=(1⋅2,1⋅0+1)=(2,1)(1,1)*(2,0) = (1\cdot2, 1\cdot0 + 1) = (2,1) și (2,0)∗(1,1)=(2⋅1,2⋅1+0)=(2,2)(2,0)*(1,1) = (2\cdot1, 2\cdot1 + 0) = (2,2), care sunt diferite, deci operația nu este comutativă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.