MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\} și operația ∗* definită prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab pentru orice a,b∈Ga, b \in G. Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice a,b∈Ga, b \in G, avem a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab. Presupunem că a∗b=1a * b = 1, atunci a+b−ab=1⇒(a−1)(b−1)=0a + b - ab = 1 \Rightarrow (a-1)(b-1) = 0, deci a=1a=1 sau b=1b=1, dar a,b∈G=R∖{1}a,b \in G = \mathbb{R} \setminus \{1\}, contradicție. Așadar, a∗b∈Ga * b \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice a,b,c∈Ga, b, c \in G, (a∗b)∗c=(a+b−ab)∗c=(a+b−ab)+c−(a+b−ab)c=a+b+c−ab−ac−bc+abc(a * b) * c = (a + b - ab) * c = (a + b - ab) + c - (a + b - ab)c = a + b + c - ab - ac - bc + abc. Similar, a∗(b∗c)=a∗(b+c−bc)=a+(b+c−bc)−a(b+c−bc)=a+b+c−bc−ab−ac+abca * (b * c) = a * (b + c - bc) = a + (b + c - bc) - a(b + c - bc) = a + b + c - bc - ab - ac + abc. Expresiile sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee: trebuie a∗e=aa * e = a pentru orice a∈Ga \in G. a∗e=a+e−ae=a⇒e(1−a)=0a * e = a + e - ae = a \Rightarrow e(1-a) = 0. Deoarece a≠1a \neq 1, avem e=0e = 0. Verificăm: 0∗a=0+a−0⋅a=a0 * a = 0 + a - 0 \cdot a = a, deci e=0e=0 este elementul neutru.
43 puncte
Căutăm inversul pentru un element a∈Ga \in G: fie bb astfel încât a∗b=0a * b = 0. a∗b=a+b−ab=0⇒b(1−a)=−a⇒b=−a1−aa * b = a + b - ab = 0 \Rightarrow b(1-a) = -a \Rightarrow b = \frac{-a}{1-a}. Deoarece a≠1a \neq 1, bb este bine definit. Dacă b=1b=1, atunci −a1−a=1⇒−a=1−a⇒0=1\frac{-a}{1-a} = 1 \Rightarrow -a = 1-a \Rightarrow 0=1, fals, deci b∈Gb \in G. Așadar, inversul lui aa este a−1=−a1−aa^{-1} = \frac{-a}{1-a}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.