MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={A=(ab0a−1)∣a,b∈R,a>0}G = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a > 0 \right\}. Să se demonstreze că GG este grup în raport cu înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru A,B∈GA, B \in G, cu A=(ab0a−1)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} și B=(cd0c−1)B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c^{-1} \end{pmatrix}, se calculează AB=(acad+bc−10(ac)−1)AB = \begin{pmatrix} ac & ad + bc^{-1} \\ 0 & (ac)^{-1} \end{pmatrix} și se observă că ac>0ac > 0 și (ac)−1=1ac(ac)^{-1} = \frac{1}{ac}, deci AB∈GAB \in G.
23 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă, deci operația pe GG este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} aparține lui GG (pentru a=1,b=0a=1, b=0) și verifică AI2=AA I_2 = A pentru orice A∈GA \in G.
42 puncte
Inversa: pentru A=(ab0a−1)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}, inversa este A−1=(a−1−b0a)A^{-1} = \begin{pmatrix} a^{-1} & -b \\ 0 & a \end{pmatrix}, care aparține lui GG deoarece a−1>0a^{-1} > 0.
51 punct
Concluzia: GG este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.