MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup și H={x∈G∣x2=e}H = \{ x \in G \mid x^2 = e \}, unde ee este elementul neutru al lui GG. Arătați că dacă GG este abelian, atunci HH este un subgrup al lui GG. Este adevărat și dacă GG nu este abelian?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătăm că e∈He \in H: deoarece e2=e⋅e=ee^2 = e \cdot e = e, conform definiției lui HH, rezultă e∈He \in H.
23 puncte
Arătăm închiderea față de operația grupului: pentru x,y∈Hx,y \in H, avem x2=ex^2 = e și y2=ey^2 = e. Dacă GG este abelian, atunci (xy)2=xyxy=x2y2(xy)^2 = xyxy = x^2 y^2 (folosind comutativitatea) =e⋅e=e= e \cdot e = e, deci xy∈Hxy \in H.
33 puncte
Arătăm închiderea față de luarea inversei: pentru x∈Hx \in H, x2=ex^2 = e, atunci (x−1)2=x−1x−1=(x2)−1(x^{-1})^2 = x^{-1} x^{-1} = (x^2)^{-1} (deoarece în orice grup, (x−1)2=(x2)−1(x^{-1})^2 = (x^2)^{-1}) =e−1=e= e^{-1} = e, deci x−1∈Hx^{-1} \in H.
42 puncte
Discuție pentru cazul neabelian: dacă GG nu este abelian, HH nu este neapărat subgrup; se poate da contraexemplul grupului simetric S3S_3, unde mulțimea elementelor de ordin 2 (exemplu: transpozițiile) nu este închisă la compunere și deci nu formează un subgrup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.