MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Demonstrați că mulțimea M={A∈M2(R)∣det⁡A≠0}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det A \neq 0 \} împreună cu operația de înmulțire a matricelor formează un grup necomutativ. Găsiți un subgrup al acestui grup care are ordinul 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se definește mulțimea MM a matricelor 2×22 \times 2 inversabile peste R\mathbb{R} și operația de înmulțire a matricelor.
23 puncte
Se verifică axiomele de grup: închiderea (produsul a două matrice din MM are determinant nenul, deci este în MM), asociativitatea (înmulțirea matricelor este asociativă), elementul neutru este matricea identitate I2∈MI_2 \in M, iar fiecare matrice A∈MA \in M are inversă A−1∈MA^{-1} \in M.
32 puncte
Se arată că grupul este necomutativ prin exemplu, de exemplu cu A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(1011)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, unde AB=(2111)AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} și BA=(1112)BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, deci AB≠BAAB \neq BA.
43 puncte
Se propune subgrupul H={I2,−I2,(100−1),(−1001)}H = \{ I_2, -I_2, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \}; se verifică că HH este închis la înmulțire, conține elementul neutru, și fiecare element are inversă în HH, formând un subgrup de ordin 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.