MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuri
Fie grupul (Z6,+)(\mathbb{Z}_6, +), unde Z6={0,1,2,3,4,5}\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} și adunarea este modulo 6. Determinați toate subgrupurile acestui grup și arătați că sunt ciclice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Amintiți că subgrupurile unui grup ciclic sunt generate de divizorii ordinii grupului. Ordinul lui Z6\mathbb{Z}_6 este 6.
24 puncte
Divizorii lui 6 sunt 1, 2, 3, 6. Subgrupurile sunt: subgrupul trivial {0}\{0\} (generat de 0), subgrupul generat de 2: {0,2,4}\{0, 2, 4\}, subgrupul generat de 3: {0,3}\{0, 3\}, și întregul grup Z6\mathbb{Z}_6 (generat de 1 sau 5).
32 puncte
Verificați că fiecare subgrup este închis față de adunarea modulo 6 și conține elementul neutru 0.
42 puncte
Specificați că toate subgrupurile sunt ciclice, deoarece Z6\mathbb{Z}_6 este ciclic și subgrupurile sale sunt generate de un singur element.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.