MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatrici
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R,a2+b2≠0}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 \neq 0 \right\} cu operația de înmulțire a matricelor. Arătați că (M,⋅)(M, \cdot) este un grup și determinați dacă este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Verificați că produsul a două matrici din MM este tot în MM, adică pentru orice A,B∈MA, B \in M, A⋅B∈MA \cdot B \in M.
22 puncte
Demonstrați asociativitatea înmulțirii matricelor, care este cunoscută din algebră.
32 puncte
Identificați elementul neutru ca fiind matricea I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și verificați că aparține lui MM.
42 puncte
Pentru orice matrice A=(ab−ba)∈MA = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \in M, găsiți inversa A−1=1a2+b2(a−bba)A^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} și arătați că aceasta aparține lui MM.
51 punct
Verificați comutativitatea înmulțirii matricelor din MM pentru a determina că grupul este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.